Algèbre by Antoine Chambert-Loir

By Antoine Chambert-Loir

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4). — Soit K un corps et soit V un K-espace vectoriel. Le groupe GA(V) des automorphismes affines de V est le groupe des transformations de V de la forme x ↦ a(x) + b, où a ∈ GL(V) et b ∈ V. Il contient le sous-groupe GL(V) (formé des automorphismes affines qui fixent l’origine, lorsque b = 0) et le sous-groupe, noté TV , des translations (données par τb ∶ x ↦ x + b, lorsque a = idV ). Pour a ∈ GL(V) et b ∈ V, on a a ○ τb ○ a−1 = τ a(b) puisque a ○ τb ○ a−1 (x)a(a −1 (x) + b) = x + a(b) pour tout x ∈ V.

Par suite, ⟨[a]⟩ = Z/nZ. c) Soit A un groupe monogène et soit a un élément de A tel que A = ⟨a⟩. Soit f ∶ Z → A l’homomorphisme de groupes donné par f (n) = a n ; il est surjectif. Soit N son noyau. Si N = {0}, f induit un isomorphisme de groupes de Z sur A. Sinon, il existe un entier strictement positif n tel que N = nZ et f induit un isomorphisme de groupes de Z/nZ sur A. En outre, on a n = Card(Z/nZ) = Card(A). 5). — Soit m et n des entiers naturels premiers entre eux ; soit A et B des groupe cycliques d’ordres m et n respectivement, notés multiplicativement.

Cela fournit en particulier une opération de G dans V. 5). — Soit A un monoïde (resp. un groupe) opérant dans un ensemble X. Par restriction, tout sous-monoïde (resp. sous-groupe) de A opère dans X. Plus généralement, soit B un monoïde et soit u ∶ B → A un morphisme de monoïdes. Alors B opère dans X par la formule b ⋅ x = u(b) ⋅ x pour b ∈ B et x ∈ X. On dit qu’une partie Y de X est stable pour l’opération de A si l’on a a ⋅ y ∈ Y pour tout y ∈ Y et tout a ∈ A. Dans ce cas, l’opération de A dans X se restreint en une opération de A dans Y.

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