Algèbre commutative: Chapitres 5 à 7 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, introduit deux notions fondamentales en algèbre commutative, celle d entier algébrique et celle de valuation, qui ont de nombreuses functions en théorie des nombres et en géometrie algébrique. It traite également des anneaux de Krull ou de Dedekind. Il comprend les chapitres: 1. Entiers; 2. Valuations; three. Diviseurs.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1965.

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22). p' ; autrement dit, opère transitivement dans l'ensemble des idéaux premiers de A' au-dessus de p. (ii) Soient p' Ùn idéal premier de A', p = p' n A, k (resp. k') le corps des fractions de A/# (resp. A'/pl). Alors k' est une extension quasi-galoisienne (*) de k, et l'homomorphisme canonique o --+ ü de y ( $ ) dans le groupe l? (p')/F(p1) sur r. (i) Si x E q', on a rl[ O. x a p', c'est-à-dire x e o-l. p'. On en conclut que U o. p', donc (comme (d est fini et les o . p' premiers) il existe 5.

1) et cet idéal m' est nécessairement maximal (prop. l), donc on a x E nt' n A = m et par suite x e %. COROLLAIRE 4. - Soient A un anneau, A' un anneau contenant A et entier sur A, et f un homomorphisme de A dans un corps algébriquement clos L. Alors f se prolonge en u n homomorphisme de A' dans L. E n effet, soit p le noyau de f, qui est un idéal premier puisque f(A) c L est intègre; soit p' un idéal premier de A' au-dessus de p (th. 1). Alors A/p s'identifie canoniquement à un sous-anneau de A'lp' et A1/p' est entier sur A/p ( $ 1, no 1, prop.

4) Lorsque p n'est pas un idéal maximal de A, on n'a pas nécessairement la relation (3) sous les hypothèses de (ii) et par suite A/P et B/p(B) ne sont pas nécessairement isomorphes, même lorsque l'on prend % = ÇZ, d'où B = AZ (exerc. 10). COROLLAIRE 1. - SOUS les hypothèses d u th. 2, les anneaux A/p et Az/(p' n AZ) ont même corps de fractions, et l'idéal maximal de l'anneau local (A" n,Z est engendré par p. COROLLAIRE 2. - Soient A' un anneau intègre, Ç. u n groupe fini opérant sur A', A l'anneau des invariants de Uj, p' un idéal premier de A'; soient K , KZ et K' les corps des fractions de A, AZ et A' respectivement.

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