# Algèbre [Lecture notes]] by Antoine Chambert-Loir

By Antoine Chambert-Loir

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Soit A un groupe et soit S une partie de A. Il existe un plus petit sous-groupe distingué de A qui contient S. C’est l’intersection de la famille de tous les sous-groupes distingués de A qui contiennent S. On dit que c’est le sous-groupe distingué de A engendré par S. 7. — Soit A un groupe. Rappelons qu’on dit qu’une relation d’équivalence ∼ dans A est compatible avec la loi de groupe de A si les relations a ∼ b et a′ ∼ b′ entraînent aa′ ∼ bb ′ . Supposons que ce soit le cas et soit a, b des éléments de A tels que a ∼ b ; comme a−1 ∼ a−1 , il vient alors e = a−1 a ∼ a−1 b, puis b −1 = eb −1 ∼ a−1 bb−1 = a−1 car b −1 ∼ b −1 ; comme la relation ∼ est symétrique, on a donc a−1 ∼ b −1 .

Cette loi est associative et possède la suite vide ε = () pour élément neutre. Ainsi, M(S) est un monoïde, qu’on appelle le monoïde libre sur l’ensemble S. On note j l’application de S dans M(S) donnée par j(s) = (s). Elle est injective et son image j(S) engendre M(S). 2) (Propriété universelle du monoïde libre) Soit S un ensemble, soit A un monoïde et soit f ∶ S → A une application. Il existe un unique morphisme de monoïdes φ ∶ M(S) → A tel que φ ○ j = f . Démonstration. — Définissons une application φ ∶ M(S) → A en posant φ(x) = f (s1 ) .

Enfin, si s n est un élément s de S et s1 = s′ , on pose encore h = (m2 , . . , m n−1 ) et la relation g = j(s)−1 h j(s) permet de démontrer de façon analogue que g d ≠ e pour d ⩾ 1. c) Soit g un élément de F(S) différent de l’élément neutre et soit (s1 , . . , s n ) l’unique mot réduit d’image g ; on a n ⩾ 1. Comme Card(S) ⩾ 2, il existe un élément t ∈ S tel que s1 ≠ t et s1 ≠ t ′ . Alors, (t, s1 , . . , s n ) est un mot réduit d’image j(t)g, et (s1 , . . , s n , t) est un mot réduit d’image g j(t).