Analytische Geometrie by Dr. Fritz Neiss (auth.)

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Leonardo da Vinci’s Giant Crossbow

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Higher Structures in Geometry and Physics: In Honor of Murray Gerstenhaber and Jim Stasheff

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Advances in Robot Kinematics and Computational Geometry

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Singularities in Geometry and Topology. Strasbourg 2009

This quantity arises from the 5th Franco-Japanese Symposium on Singularities, held in Strasbourg in August 2009. The convention introduced jointly a world staff of researchers, often from France and Japan, engaged on singularities in algebraic geometry, analytic geometry and topology. The convention additionally featured the JSPS discussion board on Singularities and purposes, which aimed to introduce a few contemporary functions of singularity concept to physics and information.

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Die Achsen sind also aVl+;:, bVl+;:; bzw. a~, b~ (y>O). Wir wollen zeigen, daB fur groBe Werte y die Achsen der einen Ellipse mit beliebiger Genauigkeit denen der anderen gleich werden. -c c c VI + 1'2 + 1 2 C c2 2 VI + 1'2 + 1 a =---:==:--- c2 C c geht mit zunehmenden y gegen Null. Dasselbe gilt fur die kleinen Halbachsen. Man sieht also, daB diese beiden Schnittfiguren mit wachsendem y immer dichter aneinanderrucken. Das Hyperboloid schmiegt sich immer mehr seinem Asymptotenkegel an, je weiter wir uns vom Nullpunkt entfernen.

Nicht auf einer Geraden, so k6nnen PI' P2' Pa nur einen gemeinsamen Punkt q haben, der in besonderen Fallen im Endlichen nicht vorhanden zu sein braucht. Denn gabe es noch einen zweiten, allen Ebenen gemeinsamen Punkt Q', so miiBte die Polarebene q' zu Q' ebenfalls alle drei Punkte PI' P z , P 3 enthalten. Da es aber nur eine soIche Ebene gibt, muB q' mit q, also auch Q' mitQ identisch sein. Wenn dagegen die Ebenen p, P' , p", . eine gemeinsame Spurgerade y besitzen, also unendlich viele gemeinsame Punkte haben, so muB es auch unendlich viele Ebenen q, q', q", ...

Bei 12. und 14. sind die Ebenen imaginar. 12. wird zerlegt in + 40 I. Elementare Einfiihrung. und hat keinen reellen Punkt. 14. zerfallt in (~ + it) (~ - it) = O. Die beiden imaginaren Ebenen haben die Z-Achse (x = 0 und y = 0) als reelle Spurgerade, und das sind aIle reellen Punkte dieser Flache. 1m FaIle 15. und 16. sind die beiden Ebenen reeIl, bei 15. verschieden und bei 16. in eine zusammenfallend. § 21. Tangentialkegel, Tangentialehene, Tangente. Durch einen Punkt P (xo, Yo, zo) wird eine Gerade gelegt, deren Parameterform durch x = Xo + ut, Y = Yo + vt, z = Zo + wt gegeben ist.

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